The prescribed curvature problem in dimension four

Necessary and sufficient conditions for a g-valued differential 2-form on a 4-dimensional manifold to be, locally, a curvature form, are given. The dimension four is exceptional for the problem of prescribed curvature as, in this dimension, Bianchi's identities can be eliminated for a large class of Lie algebras, including semisimple algebras. Hence, the curvature forms are characterized as the solutions to a second-order partial differential system, which is proved to be formally integrable.

RésuméOn donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une 2-forme différentielle à valeurs dans g sur une variété de dimension 4 soit localement une forme de courbure. La dimension quatre est exceptionnelle pour le problème de la courbure prescrite comme, dans cette dimension, les identités de Bianchi peuvent être eliminées pour une grande classe d'algèbres de Lie, y compris les algèbres semisimples. Par conséquent, les formes de courbure sont caractérisées comme solutions d'un système différentiel du second ordre, dont on demontre qu'il est formellement integrable.