Monge–Ampère measures on pluripolar sets

In this article we solve the complex Monge–Ampère problem for measures with large singular part. This result generalizes classical results by Demailly, Lelong and Lempert a.o., who considered singular parts carried on discrete sets. By using our result we obtain a generalization of Kołodziej's subsolution theorem. More precisely, we prove that if a non-negative Borel measure is dominated by a complex Monge–Ampère measure, then it is a complex Monge–Ampère measure.

RésuméDans cet article, nous résolvons le problème de Monge–Ampère complexe pour des mesures ayant une grande partie singulière. Ce résultat généralise des résultats classiques de Demailly, Lelong et Lempert entre autres, qui considéraient des parties singulières portées par des ensembles discrets. En utilisant notre résultat, nous obtenons une généralisation du théorème de la sous-solution de Kołodziej. De manière plus précise, nous montrons que si une mesure de Borel non négative est dominée par une mesure complexe de Monge–Ampère, alors c'est une mesure complexe de Monge–Ampère.