Rigorous and heuristic treatment of certain sensitive singular perturbations

We consider singular perturbated elliptic boundary value problems depending on a parameter ε which are classical for ε>0 but highly ill-posed for ε=0 as the boundary condition does not satisfy the Shapiro–Lopatinskii condition on a part of the boundary. We mainly use a limit device due to Caillerie, using a non-variational framework which proves the existence of a unique limit in an appropriate abstract space. We consider more general domains (two dimensional manifold with boundary) than in previous works on the subject. To do so, we use a heuristic reasoning allowing some simplifications which show the “equivalence” of the problem in the general geometry with another one in a one dimensional manifold. This kind of problems is motivated by certain situations in thin shell theory.

RésuméNous considérons des problèmes de perturbations singulières pour des équations aux limites elliptiques dépendant d'un paramètre ε, qui sont classiques pour ε>0 et fortement mal posées pour ε=0 parce que la condition aux limites ne satisfait pas la condition de Shapiro–Lopatinskii sur une partie du bord. Nous utilisons principalement un artifice dû à Caillerie qui consiste à se placer dans un cadre non variationnel dans lequel il est possible de prouver l'existence d'une unique limite dans un espace abstrait approprié. Nous considérons des domaines plus généraux (variété bidimensionelle à bord) que dans des travaux précédents sur le sujet. Pour ce faire, nous utilisons un raisonnement heuristique qui autorise des simplifications et qui établit « l'équivalence » du problème dans une géométrie générale avec un autre problème posé dans une variété monodimensionnelle. Ce type de problèmes est motivé par certaines situations apparaissant en théorie des coques minces.