Transonic shocks and free boundary problems for the full Euler equations in infinite nozzles

We establish the existence, stability, and asymptotic behavior of transonic flows with a transonic shock for the steady, full Euler equations in two-dimensional infinite nozzles of slowly varying cross-sections. Given a smooth incoming flow that is close to a uniform supersonic state at the entrance, we prove that there exists a transonic flow whose infinite downstream smooth subsonic region is separated by a smooth transonic shock from the upstream supersonic flow. The solution is unique within the class of transonic solutions that are close to the background solution. This problem is approached by a free boundary problem in which the transonic shock is formulated as a free boundary. An iteration scheme for the free boundary is developed and its fixed point is shown to exist, which is a solution of the free boundary problem, by combining some delicate estimates for a second-order nonlinear elliptic equation on a Lipschitz domain.

RésuméNous établissons l'existence, la stabilité, et le comportement asymptotique des écoulements transoniques avec un choc transonique pour les équations d'Euler complètes et indépendantes du temps dans des tuyères bidimensionelles, infinies et ayant des coupes transversales qui varient lentement. Etant donné un écoulement entrant régulier qui est proche d'un état supersonique uniforme à l'entrée, nous démontrons que—dans la direction de l'écoulement—il existe un écoulement transonique, dont la région (infinie) subsonique devant le choc est séparée de la région supersonique derrière le choc, par un choc transonique à travers une courbe régulière. La solution est unique dans la classe des solutions transoniques qui sont proches de la solution de base. Ce problème est abordé par un problème à frontière libre, dans lequel le choc est formulé comme frontière libre. Nous développons un schèma d'itération pour la frontière libre et, en combinant quelques estimations délicates pour une équation elliptique non linéaire de deuxième ordre sur un domaine lipschitzien, nous démontrons qu'il existe un point fixe solution du problème à frontière libre.