Weak KAM aspects of convex Hamilton–Jacobi equations with Neumann type boundary conditions

We study convex Hamilton–Jacobi equations H(x,Du)=0 and ut+H(x,Du)=0 in a bounded domain Ω of Rn with the Neumann type boundary condition Dγu=g in the viewpoint of weak KAM theory, where γ is a vector field on the boundary ∂Ω pointing a direction oblique to ∂Ω. We establish the stability under the formations of infimum and of convex combinations of subsolutions of convex Hamilton–Jacobi equations, some comparison and existence results for convex and coercive Hamilton–Jacobi equations with the Neumann type boundary condition as well as existence results for the Skorokhod problem. We define the Aubry set associated with the Neumann type boundary problem and establish some properties of the Aubry set including the existence results for the “calibrated” extremals for the corresponding action functional (or variational problem).

RésuméOn étudie du point de vue de la théorie KAM-faible, des équations de Hamilton–Jacobi de la forme H(x,Du)=0 et ut+H(x,Du)=0, pour un hamiltonien convexe H, dans un domaine borné Ω de Rn, avec une condition au bord de type Neumann oblique : Dγu=g, γ étant un champ de vecteurs sur le bord ∂Ω, pointant dans une direction oblique à ∂Ω. On montie la stabilité par infimum et par combinaison convexe des sous-solutions de ces équations lorsque le hamiltonien H est convexe, on établit des théorèmes de comparaison et d'existence lorsque le hamiltonien est convexe et coercif et avec condition de type Neumann au bord, ainsi que des résultats d'existence pour le problème de Skorokhod. On définit l'ensemble de Aubry associé aux conditions de type Neumann et on établit des propriétés de cet ensemble, notamment des résultats d'existence d'extrémales « calibrées » pour la fonctionnelle d'action (ou problème variationnel) correspondante.