Asymptotics of resolvent integrals: The suppression of crossings for analytic lattice dispersion relations

We study the so-called crossing estimate for analytic dispersion relations of periodic lattice systems in dimensions three and higher. Under a certain regularity assumption on the behaviour of the dispersion relation near its critical values, we prove that an analytic dispersion relation suppresses crossings if and only if it is not a constant on any affine hyperplane. In particular, this applies to any dispersion relation which is an analytic Morse function. We also provide two examples of simple lattice systems whose dispersion relations do not suppress crossings in the present sense.

RésuméOn étudie la borne de croisement pour des relations de dispersion analytiques de systèmes sur réseaux périodiques en dimension d⩾3. En supposant une certaine régularité de la relation de dispersion au voisinage des valeurs critiques, on démontre qu'une relation de dispersion analytique élimine les contributions de croisements si et seulement si elle n'est pas constante sur n'importe quel hyperplan affine. C'est le cas si la relation de dispersion est une fonction de Morse analytique. Enfin, on présente deux exemples de systèmes simples sur réseau pour lesquels la relation de dispersion n'élimine pas les croisements au sens défini ici.