On the missing eigenvalue problem for an inverse Sturm–Liouville problem

It is shown that if a potential q(x)∈L1[0,π] in a Sturm–Liouville problem is prescribed over the subinterval [0,π/2] and if the boundary conditions at the endpoints 0 and π are fixed, then a single spectrum except for one value suffices to determine the potential q(x) uniquely on the entire interval [0,π]. This answers affirmatively an open question of Gesztesy and Simon [F. Gesztesy, B. Simon, Inverse spectral analysis with partial information on the potential, II. The case of discrete spectrum, Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000) 2775].

RésuméOn montre que si le potentiel q(x)∈L1[0,π] dans un problème de Sturm–Liouville est donné sur le sous-intervalle [0,π/2] et si les conditions limites aux extremites 0 et π sont fixeés, alors un spectre unique, à l'exception d'un point, suffit a déterminer le potentiel q(x) de manière unique sur l'intervalle entier [0,π]. Ceci répond positivement à une question ouverte de Gesztesy et Simon [F. Gesztesy, B. Simon, Inverse spectral analysis with partial information on the potential, II. The case of discrete spectrum, Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000) 2775].