Resonances and residue operators for symmetric spaces of rank one

Let X=G/K be a rank-one Riemannian symmetric space of the noncompact type and let −Δ be the Laplace–Beltrami operator on X. We show that the resolvent operator R(z) of Δ can be meromorphically continued across the spectrum and explicitly determine the poles, i.e. the resonances. Further we describe the residue operators in terms of finite-dimensional spherical representations of G. The result answers a question posed by M. Zworski in [M. Zworski, What are the residues of the resolvent of the Laplacian on non-compact symmetric spaces? Seminar held at the IRTG Summer School 2006, Schloss Reisensburg, 2006. Available at http://math.berkeley.edu/~zworski/reisensburg.pdf]. The rank of the residue operators is derived from a restricted root version of the Weyl dimension formula for spherical highest weight representations which we prove for arbitrary symmetric spaces of the noncompact type.

RésuméSoit X=G/K un espace symétrique riemannien de type non-compact et de rang un, et soit −Δ l'opérateur de Laplace–Beltrami sur X. Nous montrons que la résolvante R(z) de Δ se prolonge méromorphiquement à travers le spectre et nous déterminons explicitement ses pôles, c'est-à-dire les résonances. En outre, nous écrivons les opérateurs résiduels au moyen des représentations sphériques de dimension finie de G. Les résultats de cet article répondent à une question posée par M. Zworski dans [M. Zworski, What are the residues of the resolvent of the Laplacian on non-compact symmetric spaces ? Seminar held at the IRTG Summer School 2006, Schloss Reisensburg, 2006. Available at http://math.berkeley.edu/~zworski/reisensburg.pdf]. Le rang des opérateurs résiduels est obtenu à partir d'une version de la formule de la dimension de Weyl pour les représentations sphériques qui utilise les racines restreintes ; nous démontrons cette formule pour des espaces symétriques du type non-compact arbitraires.