New asymptotic profiles of nonstationary solutions of the Navier–Stokes system

We show that solutions u(x,t)u(x,t) of the nonstationary incompressible Navier–Stokes system in RdRd (d⩾2d⩾2) starting from mild decaying data a   behave as |x|→∞|x|→∞ as a potential field:equation(i)u(x,t)=etΔa(x)+γd∇x(∑h,kδh,k|x|2−dxhxkd|x|d+2Kh,k(t))+o(1|x|d+1), where γdγd is a constant and Kh,k=∫0t(uh|uk)L2 is the energy matrix of the flow.We deduce that, for well localized data, and for small t   and large enough |x||x|,equation(ii)ct|x|−(d+1)⩽|u(x,t)|⩽c′t|x|−(d+1),ct|x|−(d+1)⩽|u(x,t)|⩽c′t|x|−(d+1), where the lower bound holds on the complementary of a set of directions, of arbitrary small measure on Sd−1Sd−1. We also obtain new lower bounds for the large time decay of the weighted-LpLp norms, extending previous results of Schonbek, Miyakawa, Bae and Jin.

RésuméOn montre que la solution u(x,t)u(x,t) de l'équation de Navier–Stokes incompressible dans RdRd (d⩾2d⩾2) pour une donnée de Cauchy générique et modérément décroissante a   se comporte, pour |x|→∞|x|→∞, comme un écoulement potentiel donné par la formule (i) ; γdγd est une constante et Kh,k=∫0t(uh|uk)L2 est la matrice d'énergie de l'écoulement.On en déduit que, si la donnée est bien localisée, le champ de vitesse vérifie (ii) pour t   suffisament petit et |x||x| assez grand. La borne inférieure est valable sur le complémentaire d'un ensemble de directions, de mesure arbitrairement petite dans Sd−1Sd−1. On obtient aussi de nouvelles bornes inférieures du taux de décroissance en temps grand des moments de la solution dans LpLp qui étendent des résultats antérieurs de Schonbek, Miyakawa, Bae and Jin.