A new transportation distance between non-negative measures, with applications to gradients flows with Dirichlet boundary conditions

In this paper we introduce a new transportation distance between non-negative measures inside a domain Ω. This distance enjoys many nice properties, for instance it makes the space of non-negative measures inside Ω a geodesic space without any convexity assumption on the domain. Moreover we will show that the gradient flow of the entropy functional with respect to this distance coincides with the heat equation, subject to the Dirichlet boundary condition equal to 1.

RésuméDans cet article on introduit une nouvelle distance sur l'espace des mesures positives dans un domaine Ω. Cette distance satisfait plusieurs propriétés intéressantes : par exemple, elle fait de l'espace des mesures positives dans Ω un espace géodésique sans aucune hypothèse de convexité sur le domaine. De plus on montre que le flot gradient de la fonctionnelle d'entropie, , par rapport à cette distance conduit à l'équation de la chaleur avec condition de Dirichlet égale à 1.