Mathematical study of the β-plane model for rotating fluids in a thin layer

This article is concerned with an oceanographic model describing the asymptotic behaviour of a rapidly rotating and incompressible fluid with an inhomogeneous rotation vector; the motion takes place in a thin layer. We first exhibit a stationary solution of the system which consists of an interior part and a boundary layer part. The spatial variations of the rotation vector generate strong singularities within the boundary layer, which have repercussions on the interior part of the solution. The second part of the article is devoted to the analysis of two-dimensional and three-dimensional waves. It is shown that the thin layer effect modifies the propagation of three-dimensional Poincaré waves by creating small scales. Using tools of semiclassical analysis, we prove that the energy propagates at speeds of order one, i.e. much slower than in traditional rotating fluid models.

RésuméOn étudie ici le comportement asymptotique d'un fluide incompressible tournant à grande vitesse dans une couche mince, avec un vecteur rotation inhomogène ; ce type de modèle apparaît en océanographie. On commence par exhiber une solution stationnaire du système, obtenue comme la somme d'un terme intérieur et d'un terme de couche limite. Les variations spatiales du vecteur rotation génèrent de fortes singularités dans la couche limite, qui se répercutent dans la partie intérieure de la solution. Dans un second temps, on caractérise le comportement des ondes bi- et tri-dimensionnelles. L'effet de couche mince modifie la propagation des ondes de Poincaré (3D) en favorisant l'apparition de petites échelles. Grâce à une analyse de type semi-classique, on montre que la vitesse de propagation de l'énergie est d'ordre un, soit beaucoup plus faible que dans les modèles classiques de fluides tournants.