An inverse scattering problem for the Schrödinger equation in a semiclassical process

We study a direct and an inverse scattering problem for a pair of Hamiltonians (H(h),H0(h)) on L2(Rn), where H0(h)=−h2Δ and H(h)=H0(h)+V, V is a short-range potential and h is the semiclassical parameter. First, we show that if two potentials are equal in the classical allowed region for a fixed non-trapping energy, the associated scattering matrices coincide up to O(h∞) in B(L2(Sn−1)). Then, for potentials with a regular behaviour at infinity, we study the inverse scattering problem. We show that in dimension n⩾3, the knowledge of the scattering operators S(h), , up to O(h∞) in B(L2(Rn)), and which are localized near a fixed energy λ>0, determine the potential V at infinity.

RésuméNous étudions un problème de diffusion direct et inverse pour le couple de Hamiltoniens (H(h),H0(h)) sur L2(Rn), où H0(h)=−h2Δ et H(h)=H0(h)+V, V étant un potentiel à courte portée et h est le paramètre semi-classique. Dans un premier temps, nous montrons que si deux potentiels coïncident dans la zone classiquement observable pour une énergie non-captive, les matrices de diffusions associées sont égales, modulo O(h∞) dans B(L2(Sn−1)). Ensuite, pour des potentiels qui ont un comportement régulier à l'infini, nous étudions le problème de diffusion inverse. Nous montrons qu'en dimension n⩾3, la donnée des opérateurs de diffusion S(h), , modulo O(h∞) dans B(L2(Rn)), et qui sont localisés près d'une énergie fixée λ>0, détermine le potentiel V à l'infini.