Convergence to equilibria and blowup behavior of global strong solutions to the Stokes approximation equations for two-dimensional compressible flows with large data

This paper concerns the large time behavior of strong and classical solutions to the two-dimensional Stokes approximation equations for the compressible flows. We consider the unique global strong solution or classical solution to the two-dimensional Stokes approximation equations for the compressible flows with large external potential force, together with a Navier-slip boundary condition, for arbitrarily large initial data. Under the conditions that the corresponding steady state exists uniquely with the steady state density away from vacuum, we prove that the density is bounded from above independently of time, consequently, it converges to the steady state density in Lp and the velocity u converges to the steady state velocity in W1,p for any 1⩽p<∞ as time goes to infinity; furthermore, we show that if the initial density contains vacuum at least at one point, then the derivatives of the density must blow up as time goes to infinity.

RésuméCet article concerne le comportement en temps long des solutions fortes et des solutions classiques de l'approximation de Stokes bi-dimensionnelle d'un écoulement compressible. On considère l'unique solution forte ou solution classique de l'approximation de Stokes bi-dimensionnelle pour un écoulement compressible avec une grande force extérieure de type potentiel en choisissant une condition aux bords de Navier et des données initiales arbitrairement grandes. Sous les hypothèses que l'état stationnaire correspondant existe de manière unique avec densité éloignée du vide, on montre que la densité du problème de départ reste borné inférieurement pour tout temps et par conséquence qu'elle converge en temps long vers l'état stationnaire en norme Lp, pour tout 1⩽p<+∞. De plus on montre que si la densité initiale s'annule au moins en un point alors les dérivées de la densité explosent en temps long.