Neumann problems and isocapacitary inequalities

A priori bounds for solutions to (nonlinear) elliptic Neumann problems in open subsets Ω of Rn are established via inequalities relating the Lebesgue measure of subsets of Ω to their relative capacity. Both norm and capacitary estimates for solutions, and norm estimates for their gradients are derived which improve classical results even in the case of the Laplace equation.

RésuméNous établissons des bornes a priori pour les solutions de problèmes (non linéaires) de Neumann elliptiques sur des ouverts Ω de Rn à travers des inégalités reliant la mesure de Lebesgue de sous-ensembles de Ω à leur capacité relative. Nous démontrons à la fois des estimations en norme et en capacité pour les solutions, ainsi que des estimations en norme pour leurs gradients. Ces estimations améliorent les résultats classiques, même dans le cas de l'équation de Laplace.