Reduced Gutzwiller formula with symmetry: Case of a Lie group

We consider a classical Hamiltonian H on R2d, invariant by a Lie group of symmetry G, whose Weyl quantization is a selfadjoint operator on L2(Rd). If χ is an irreducible character of G, we investigate the spectrum of its restriction to the symmetry subspace of L2(Rd) coming from the decomposition of Peter–Weyl. We give semi-classical Weyl asymptotics for the eigenvalues counting function of in an interval of R, and interpret it geometrically in terms of dynamics in the reduced space R2d/G. Besides, oscillations of the spectral density of are described by a Gutzwiller trace formula involving periodic orbits of the reduced space, corresponding to quasi-periodic orbits of R2d.

RésuméOn considère un hamiltonien classique H sur R2d, invariant par un groupe de Lie G de symétrie, et dont le quantifié de Weyl est un opérateur autoadjoint sur L2(Rd). Si χ est un caractère irréductible de G, on étudie le spectre de sa restriction au sous-espace de symétrie de L2(Rd) provenant de la décomposition de Peter–Weyl. On donne une asymptotique de Weyl semi-classique pour la fonction de comptage des valeurs propres de dans un intervalle R, et on interprète géométriquement le premier terme dans l'espace réduit R2d/G. Par ailleurs, on décrit les oscillations de la densité spectrale de en donnant une formule de trace à la Gutzwiller, faisant apparaître les orbites périodiques de l'espace réduit, qui correspondent à des orbites quasi-périodiques de R2d.