Article ID | Journal | Published Year | Pages | File Type |
---|---|---|---|---|
4644555 | Journal de Mathématiques Pures et Appliquées | 2006 | 33 Pages |
We study the deep interplay between geometry of quadrics in d-dimensional space and the dynamics of related integrable billiard systems. Various generalizations of Poncelet theorem are reviewed. The corresponding analytic conditions of Cayley's type are derived giving the full description of periodical billiard trajectories; among other cases, we consider billiards in arbitrary dimension d with the boundary consisting of arbitrary number k of confocal quadrics. Several important examples are presented in full details proving the effectiveness of the obtained results. We give a thorough analysis of classical ideas and results of Darboux and methodology of Lebesgue; we prove their natural generalizations, obtaining new interesting properties of pencils of quadrics. At the same time, we show essential connections between these classical ideas and the modern algebro-geometric approach in the integrable systems theory.
RésuméNous étudions l'interaction profonde entre la géométrie des quadriques dans l'espace de dimension d et la dynamique associée des systèmes intégrables de billards. Nous revisitons les généralisations diverses du théorème de Poncelet. Les conditions analytiques du type Cayley sont dérivées donnant une description complète des trajectoires périodiques du billard ; en particulier, nous considérons des billards de dimension d dont la frontière consiste en un nombre arbitraire k de quadriques homofocales. Quelques exemples importants sont présentés en détail, démontrant l'efficacité des résultats obtenus. Nous donnons une analyse exhaustive des idées classiques, des résultats de Darboux, de la méthodologie de Lebesgue, et nous démontrons leurs généralisations naturelles, obtenant des propriétés nouvelles et intéressantes de faisceaux de quadriques. Nous démontrons également des connections essentielles entre ces idées classiques et la méthode algébro-géométrique moderne de la théorie des systèmes integrables.