Entropy solutions for linearly degenerate hyperbolic systems of rich type

Consider a linearly degenerate hyperbolic system of rich type. Assuming that each eigenvalue of the system has a constant multiplicity, we construct a representation formula of entropy solutions in L∞ to the Cauchy problem. This formula depends on the solution of an autonomous system of ordinary differential equations taking x as parameter. We prove that for smooth initial data, the Cauchy problem for such an autonomous system admits a unique global solution. By using this formula together with classical compactness arguments, we give a very simple proof on the global existence of entropy solutions. Moreover, in a particular case of the system, we obtain an another explicit expression and the uniqueness of the entropy solution. Applications include the one-dimensional Born–Infeld system and linear Lagrangian systems.

RésuméOn considère des systèmes hyperboliques linéairement dégénérés de type riche. On suppose que chaque valeur propre des systèmes considérés est de multiplicité constante, on construit une formule de représentation des solutions entropiques L∞ du problème de Cauchy. Cette formule dépend de la solution d'un système autonome d'équations différentielles ordinaires en prenant x comme paramètre. Nous démontrons que pour des données initiales régulières, le problème de Cauchy pour un tel système autonome admet une unique solution globale. On utilise cette formule et des arguments classiques de compacité pour démontrer l'existence globale de solutions entropiques. De plus, pour des systèmes particuliers on obtient des formules explicites et l'unicité des solutions entropiques. En application on traite le cas du système unidimensionnel de Born–Infeld et des cas de systèmes lagrangiens linéaires.