Normal deviations from the averaged motion for some reaction–diffusion equations with fast oscillating perturbation

We study the normalized difference between the solution uϵ of a reaction–diffusion equation in a bounded interval [0,L], perturbed by a fast oscillating term arising as the solution of a stochastic reaction–diffusion equation with a strong mixing behavior, and the solution of the corresponding averaged equation. We assume the smoothness of the reaction coefficient and we prove that a central limit type theorem holds. Namely, we show that the normalized difference converges weakly in C([0,T];L2(0,L)) to the solution of the linearized equation, where an extra Gaussian term appears. Such a term is explicitly given.

RésuméNous étudions la différence normalisée entre la solution uϵ d'une équation de réaction–diffusion sur un intervalle borné [0,L], perturbée par un terme rapidement oscillant qui apparaît comme solution d'une équation stochastique de réaction–diffusion avec un comportement fortement mélangeant, et la solution de l'équation correspondante moyennée. Nous supposons que le coefficient de réaction–diffusion est régulier et qu'un théoréme du type de la limite centrale s'applique. Nous montrons que la différence normalisée converge faiblement dans C([0,T];L2(0,L)) vers la solution de l'équation linéarisée, où un terme gaussien supplémentaire, donné explicitement, apparaît.