Homogenization of two-dimensional elasticity problems with very stiff coefficients

In this paper we study the asymptotic behaviour of a sequence of two-dimensional linear elasticity problems with equicoercive elasticity tensors. Assuming the sequence of tensors is bounded in L1, we obtain a compactness result extending to the elasticity the div–curl approach of [M. Briane, J. Casado-Díaz, Two-dimensional div–curl results. Application to the lack of nonlocal effects in homogenization, Comm. Partial Differential Equations 32 (2007) 935–969] for the conduction. In the periodic case this compactness result is refined replacing the L1-boundedness by a less restrictive condition involving the oscillations period. We also build a sequence of isotropic elasticity problems with L1-unbounded Lamé's coefficients, which converges to a second gradient limit problem. This loss of compactness shows a gap in the limit behaviour between the very stiff problems of elasticity and those of conduction. Indeed, in the conduction case a compactness result was proved in [M. Briane, J. Casado-Díaz, Asymptotic behaviour of equicoercive diffusion energies in dimension two, Calc. Var. Partial Differential Equations 29 (4) (2007) 455–479] without assuming any bound from above for the conductivities.

RésuméDans cet article, on étudie le comportement asymptotique d'une suite de problèmes d'élasticité linéaire bidimensionnelle avec des tenseurs d'élasticité équicoercifs. En supposant que la suite des tenseurs est bornée dans L1, on établit un résultat de compacité qui étend à l'élasticité l'approche div–rot de [M. Briane, J. Casado-Díaz, Two-dimensional div–curl results. Application to the lack of nonlocal effects in homogenization, Comm. Partial Differential Equations 32 (2007) 935–969] pour la conduction. Dans le cas périodique, on obtient un raffinement de ce résultat en remplaçant la borne L1 des tenseurs par une condition moins restrictive faisant intervenir la période des oscillations. On construit également une suite de problèmes d'élasticité isotrope avec des coefficients de Lamé non bornés dans L1, qui converge vers un problème limite avec un second gradient. Cette perte de compacité montre une différence notable de comportement limite entre les problèmes très raides d'élasticité et ceux de conduction. Dans ce dernier cas, en effet, un résultat de compacité a été démontré dans [M. Briane, J. Casado-Díaz, Asymptotic behaviour of equicoercive diffusion energies in dimension two, Calc. Var. Partial Differential Equations 29 (4) (2007) 455–479] sans aucune hypothèse sur la borne supérieure des coefficients de conductivité.