Relative rearrangement and Lebesgue spaces Lp(⋅) with variable exponent

We apply the techniques of monotone and relative rearrangements to the nonrearrangement invariant spaces Lp(⋅)(Ω) with variable exponent. In particular, we show that the maps u∈Lp(⋅)(Ω)→k(t)u∗∈Lp∗(⋅)(0,measΩ) and u∈Lp(⋅)(Ω)→u∗∈Lp∗(⋅)(0,measΩ) are locally ϕ-Hölderian (u∗ (resp. p∗) is the decreasing (resp. increasing) rearrangement of u (resp. p)). The pointwise relations for the relative rearrangement are applied to derive the Sobolev embedding with eventually discontinuous exponents.

RésuméLes espaces à exposant variable Lp(⋅)(Ω) sont des espaces non invariants par réarrangement. Malgré cela, nous montrons que les techniques développées dans le cadre du réarrangement monotone et relatif sont applicables. Notamment, nous démontrons que les applications u∈Lp(⋅)(Ω)→k(t)u∗∈Lp∗(⋅)(0,mesΩ) et u∈Lp(⋅)(Ω)→u∗∈Lp∗(⋅)(0,mesΩ) sont ϕ-localement hölderiennes (u∗ (resp. p∗) est le réarrangement décroissant (resp. croissant) de u (resp. p)). Les inégalités ponctuelles pour le réarrangement relatif permettent d'étudier les inclusions de Sobolev avec éventuellement des exposants discontinus.