The Gierer–Meinhardt system on a compact two-dimensional Riemannian manifold: Interaction of Gaussian curvature and Green's function

In this paper, we rigorously prove the existence and stability of single-peaked patterns for the singularly perturbed Gierer–Meinhardt system on a compact two-dimensional Riemannian manifold without boundary which are far from spatial homogeneity. Throughout the paper we assume that the activator diffusivity ϵ2 is small enough.We show that for the threshold ratio of the activator diffusivity ϵ2 and the inhibitor diffusivity D, the Gaussian curvature and the Green's function interact.A convex combination of the Gaussian curvature and the Green's function together with their derivatives are linked to the peak locations and the o(1) eigenvalues. A nonlocal eigenvalue problem (NLEP) determines the O(1) eigenvalues which all have negative part in this case.

RésuméDans cet article on démontre rigoureusement l'existence et la stabilité de structures à un seul pic pour le système de Gierer–Meinhardt singulièrement perturbé sur une variété riemannienne bidimensionnelle compacte et sans bord, dans le cas de forte in homogénéité spatiale. Dans tout cet article on suppose que la diffusivité de l'activateur ϵ2 est assez petite. On montre que près du seuil du rapport entre la diffusivité de l'activateur, ϵ2, et la diffusivité de l'inhibiteur, D, on a ; dans ce cas il existe une interaction entre la courbure de Gauss et la fonction de Green. Une combinaison convexe de la courbure de Gauss, de la fonction de Green et de leurs dérivées est en relation avec la position des pics et l'estimation o(1) des valeurs propres. Un problème de valeurs propres non local (NLEP) permet une estimation O(1) de toutes les valeurs propres qui ont une partie négative.