Existence de l'application exponentielle riemannienne d'un groupe de difféomorphismes muni d'une métrique de Sobolev

RésuméNous démontron l'existence de géodésiques des groupes de Lie riemanniens faibles,(DiffH∞(Rn),gHk)=(Diff(Rn)∩(Id+⋂k∈NHk(Rn;Rn)),gHk), où gHkgHk est la métrique de Sobolev (faible) d'ordre k  . Ensuite, nous étudions l'application exponentielle riemannienne induite par cette métrique. Pour k=1k=1, le résultat obtenu implique l'existence locale et l'unicité de solution dans C∞(;H∞(Rn;Rn)) de l'analogue n  -dimensionnel de l'équation de Camassa–Holm sur RnRn.

We prove the existence of geodesics of the weak Riemannian Lie group(DiffH∞(Rn),gHk)=(Diff(Rn)∩(Id+⋂k∈NHk(Rn;Rn)),gHk), where gHkgHk is the weak Sobolev metric of order k  . Next, we study the Riemannian exponential mapping induced by this metric. For k=1k=1, the result immediately gives the local existence of solution in C∞(;H∞(Rn;Rn)) of the n  -dimensional analog of the Camassa–Holm's equation on the Euclidean space RnRn.