Existence theorems in intrinsic nonlinear elasticity

We first show how the displacement-traction problem of nonlinear three-dimensional elasticity can be recast either as a boundary value problem or as a minimization problem over a Banach manifold, where the unknown is the Cauchy–Green strain tensor instead of the deformation as is customary. We then consider the pure displacement problem, and we show that, under appropriate smoothness assumptions on the data, either problem recast in this fashion possesses at least a solution if the applied forces are sufficiently small and the stored energy function satisfies specific hypotheses. In particular, the minimization problem provides an example where the functional is not coercive.

RésuméOn montre d'abord comment le problème en déplacement-traction de l'élasticité non linéaire tri-dimensionnelle peut être ré-écrit soit comme un problème aux limites, soit comme un problème de minimisation sur une variété de Banach, où l'inconnue est le tenseur des déformations de Cauchy–Green au lieu de la déformation comme il est usuel. On considère ensuite le problème en déplacement pur et nous montrons que, sous des hypothèses appropriées de régularité sur les données, chacun de ces problèmes ainsi ré-écrits possède au moins une solution si les forces appliquées sont suffisamment petites et si la densité d'énergie satisfait des hypothèses spécifiques. En particulier, le problème de minimisation constitue un exemple où la fonctionnelle n'est pas coercive.