A new method to determine the value or the reality of zeros for certain entire functions

We present a new method to study the zeros of an entire function f(x)=∑n⩾0Anxn by associating a certain holomorphic function of two variables. When An≠0 for all n, we show that each zero appears formally as the inverse of a series, whose terms are rational expressions of the An. With a majorant method we prove the main result: let ρo be the positive root of , then if these series converge and determine exactly the zeros. When f(x) is real, the inequality gives a sufficient criterion so that all zeros are real. The majorant is conjectured to be the best possible.The main result required that we extend the composition G∘H of two formal power series to some cases, not previously displayed, where H is a formal series of two variables with both positive and negative powers.

RésuméOn présente une nouvelle méthode pour étudier les zéros d'une fonction entière f(x)=∑n⩾0Anxn en associant à f(x) une certaine fonction holomorphe de 2 variables. Si An≠0 pour tout n, on montre que chaque zéro de f(x) se présente formellement comme l'inverse d'une série dont les termes sont des expressions rationnelles des An. Par une méthode de majorante, on prouve le résultat principal : soit ρo la racine positive de , alors si ces séries convergent et déterminent exactement tous les zéros. Lorsque f(x) est réelle, l'inégalité donne un critère suffisant pour que tous les zéros soient réels. On conjecture que le majorant est le meilleur possible.Le résultat principal a nécessité que nous étendions la composition G∘H de deux séries formelles à des cas, non mis en évidence auparavant, où H est une série formelle de deux indeterminées contenant à la fois des puissances positives et négatives.