Harnack inequalities on manifolds with boundary and applications

On a large class of Riemannian manifolds with boundary, some dimension-free Harnack inequalities for the Neumann semigroup are proved to be equivalent to the convexity of the boundary and a curvature condition. In particular, for pt(x,y)pt(x,y) the Neumann heat kernel w.r.t. a volume type measure μ and for K   a constant, the curvature condition Ric−∇Z⩾KRic−∇Z⩾K together with the convexity of the boundary is equivalent to the heat kernel entropy inequality:∫Mpt(x,z)logpt(x,z)pt(y,z)μ(dz)⩽Kρ(x,y)22(e2Kt−1),t>0,x,y∈M, where ρ is the Riemannian distance. The main result is partly extended to manifolds with non-convex boundary and applied to derive the HWI inequality.

RésuméNous allons montrer que, pour une large classe de variétés riemanniennes à bord, l'inégalité de Harnack du type indépendant de la dimension pour le semi-groupe de Neumann est équivalente à la convexité du bord combinée avec la condition de courbure. En particulier, pour le noyau de la chaleur de Neumann pt(x,y)pt(x,y) et une constante K  , la condition de courbure Ric−∇Z⩾KRic−∇Z⩾K, combinée avec la convexité du bord, est équivalente à l'inégalité d'entropie suivante,∫Mpt(x,z)logpt(x,z)pt(y,z)μ(dz)⩽Kρ(x,y)22(e2Kt−1),t>0,x,y∈M, où ρ désigne la distance riemannienne. Le résultat essentiel est partiellement étendu aux cas des variétés à bord non convexes et utilisé pour obtenir l'inégalité de HWI.