On the equivariant reduction of structure group of a principal bundle to a Levi subgroup

Soit M une variété projective irréducible, définie sur un corps k algébriquement clos de caractéristique nulle, munie d'une action de groupe Γ. Soit EG un G-fibré principal sur M, où G est un groupe algébrique linéaire réductif connexe défini sur k, muni d'une action de Γ relevant l'action sur M. Nous donnons des conditions pour que EG admette une réduction Γ-équivariante du groupe structural à H, où H⊂G est un sous-groupe de Lévi. Nous montrons qu'à tout G-fibré principal EG est naturellement associée une classe de conjugaison de sous-groupes de Lévi de G. Étant donné un sous-groupe de Lévi H dans cette classe, le fibré principal EG admet une réduction Γ-équivariante de son groupe structural à H et, de plus, une telle réduction est unique à un automorphisme près de EG, commutant à l'action de Γ.