A solution of the constant coefficient heat equation on R with exceptional asymptotic behavior: An explicit construction

In this paper, we construct a solution of the one-dimensional heat equation on R which has the following properties: Given any 0<μ<1, there exists a sequence tk→∞ such that as k→∞. In other words, this solution exhibits all the possible decay rates. In addition, for essentially all values of μ∈(0,1), we characterize the set ωμ(u) of all limit points in C0(R) as t→∞ of . More precisely, if μ is rational, then ωμ(u) is all of C0(R). Furthermore, for almost all μ∈(0,1), ωμ(u(0)) is equal to a fixed nonempty set N⊊C0(R).

RésuméDans cet article, nous construisons une solution de l'équation de la chaleur posée sur la droite dont nous étudions le comportement asymptotique pour toute une plage d'échelles de temps. Nous montrons notamment que cette solution exhibe toutes les possibles de décroissance vitesses, puisque pour tout 0<μ<1, il existe une suite tk→∞ telle que lorsque k→∞. En outre, pour presque tout μ∈(0,1), l'ensemble ωμ(u) des points-limite de dans C0(R) lorsque t→∞ est égal à un ensemble non-vide N⊊C0(R) indépendant de μ. L'ensemble exceptionnel des μ∈(0,1) pour lesquels ωμ≠N contient les rationnels, pour lesquels nous montrons que ωμ(u(0))=C0(R).