On a p-Laplace equation with multiple critical nonlinearities

Using the Mountain-Pass Theorem of Ambrosetti and Rabinowitz we prove that −Δpu−μ|x|−pup−1=|x|−sup⋆(s)−1+up⋆−1 admits a positive weak solution in Rn of class , whenever μ<μ1, and μ1=p[(n−p)/p]. The technique is based on the existence of extremals of some Hardy–Sobolev type embeddings of independent interest. We also show that if is a weak solution in Rn of −Δpu−μ|x|−p|u|p−2u=|x|−s|u|p⋆(s)−2u+|u|q−2u, then u≡0 when either 1p⋆ and u is also of class .

RésuméEn utilisant le lemme du col d'Ambrosetti et Rabinowitz, nous démontrons que l'équation −Δpu−μ|x|−pup−1=|x|−sup⋆(s)−1+up⋆−1 admet une solution faible positive dans dès que μ<μ1, avec μ1=p[(n−p)/p]. La technique utilisée repose sur l'existence d'extrémales pour certains plongements de Hardy–Sobolev. Nous montrons parallèlement que si est une solution faible dans Rn de −Δpu−μ|x|−p|u|p−2u=|x|−s|u|p⋆(s)−2u+|u|q−2u, alors u≡0 lorsque 1p⋆ et u est de classe .