2-D turbulence for forcing in all scales

Rigorous estimates to support the Batchelor–Kraichnan–Leith theory of 2-D turbulence are made for time-dependent forcing at all length scales. The main estimate, derived under several different assumptions on the smoothness of the force in space and time, bounds the dissipation wavenumber κηκη from above and below in terms of a generalized Grashof number. That estimate is shown to be connected to the energy power law, the dissipation law, and the enstrophy cascade. These results impose certain restrictions on the shape of the force, which in several cases is allowed to be discontinuous in time.

RésuméLa théorie de la turbulence bidimensionelle de Batchelor (1953) [1], Kraichnan (1967) [2], et Leith (1968) [3], inspirée par la théorie de la turbulence tridimensionelle de Kolmogorov (1991) [4], établit d'une manière empirique des relations assez précises entre les moyennes (temporelles, spatiales, statistiques) des divers paramètres physiques d'un fluide bidimensionel turbulent. Récemment des efforts ont eté faits pour déduire cette théorie d'une manière rigoureuse à partir des équations de Navier–Stokes (Foias et al. (2002, 2005) [5] and [6], Dascaliuc et al. (2008) [7]). Cet article pousuit cette direction de recherche, et s'approche de son but memˆe dans un cadre plus général. En effet, pour une solution u(t)(=u(t,x))u(t)(=u(t,x)) des équations de Navier–Stokes dans [t0,∞)×R2[t0,∞)×R2, périodiques en les variables spatiales (avec une période 2π/κ02π/κ0), à moyennes spatialles nulles, i.e.∬Ωu(t,x)dx=0(∀t⩾t0), on définit d'abord|u(t)|2=κη∬Ωu⋅udx,‖u(t)‖2=κη∬Ω∇u:∇udx, et|Au(t)|2=κη∬ΩΔu⋅Δudx, où Ω=[0,2π/κ02]2, puis les moyennes temporelles correspondantes :〈|u|2〉=1t2−t1∫t1t2|u(t)|2dt,etc. La théorie empirique de la turbulence implique que les moyennes prećedentes (et bien d'autres) sont reliées par des relations universelles dès que 〈|u|2〉〈|u|2〉 est suffisamment grand, et t2≫t1≫t0t2≫t1≫t0 ; par exempleη:=νκ02〈|Au|2〉∼L1κ03U3:=L1κ03(κ02〈|u|2〉)3/2, où ν>0ν>0 est le coefficient de viscosité et L1,L2,…L1,L2,… sont des termes logarithmiques dépendant du nombre de Reynolds Re=κ02〈|u|2〉1/2/ν. Nous démontrons que sous les conditions spécifées auparavant on a :η⩽L2κ03(κ02〈|u|2〉)3/2, et que cette relation implique,κσ⩽L3κη,κσ⩽L3κη, oùκσ:=(〈|Au|2〉〈‖u‖2〉)1/2,κη:=(ην3)1/6,κηκη étant le nombre d'onde dans la théorie empirique au delà duquel l'effet de la viscosité domine celui de la dynamique (effect dit inertiel). On prouve aussi queequation(0.1)κη⩽L4κσκη⩽L4κσ impliqueη⩾L5κ03(κ02〈|u|2〉)3/2, et de plusequation(0.2)eκ,2κ⩽L6η2/3κ2 (pour tout κ⩾κ0κ⩾κ0), oùeκ,2κ=κ02〈∑κ<κ0|k|⩽2κ|uˆ(k,⋅)|2〉,uˆ(k,t) est ici la répresentation de Fourier de u(x,t)u(x,t), et eκ,2κeκ,2κ est l'énergie par unité de masse moyenne des composantes de u(x,t)u(x,t) à nombre d'onde se trouvant dans l'intervalle (κ,2κ](κ,2κ]. La théorie empirique affirme aussi que dans l'intervalle inertiel [κ̲i,κ¯i], notamment celui où l'inertie domine la viscosité, on a :equation(0.3)eκ,2κ∼L7η2/3κ2 et κ¯i⩽L8κη.Nous démontrons que (0.3) impliqueκτ:=(〈‖u‖2〉〈|u|2〉)1/2⩽L10κ̲i,κ¯i⩽L9κη. De plus, nous montrons que si (0.2) est vraie pour κτL11⩽κ⩽κηL12κτL11⩽κ⩽κηL12, alors (0.1) est vraie et par conséquent (0.2) est aussi vraie pour tout κ⩾κ0κ⩾κ0. En outre, on démontre que toute la théorie empirique est rigoureuse si et seulement si (0.1) est vrai, etη2/3κ2⩽L13eκ,2κpour L14κτ⩽κ⩽L15κη.Pour la démonstration de ces reśultats, on utilise les équations de Navier–Stokes pour démontrer l'estimation nouvelle ci-après :equation(0.4)(κτκσκ02)1/3G¯1/6⩽L16κηκ0⩽L16(κ02κτκσ)1/3G¯1/3, qui est valable pour de larges classes de forces massiques ; dans (0.4) on a posé :G¯:=supt>t0|f(t)|ν2κ02,et|f(t)|=(∬Ω|f(x,t)|2dx)1/2,f(⋅)f(⋅) étant la projection de Leray de la force massique. Les autres résultats mentionnés dans ce résumé sont des conséquences directes (ou quelques fois indirectes) de (0.4). Finalement, il faut mentionner que, pour simplifier, nous avons omis dans les inegalités précédentes des constantes adimensionelles dépendant seulement de f(⋅)/|f(⋅)|f(⋅)/|f(⋅)|.