B2-convexity and surface energy of space partitions

We prove that B2-convexity is not equivalent to lower semicontinuity of surface energy of partitions of Rm, for any m⩾2. B2-convexity, formulated by F. Morgan in 1995, is an extension of F. Almgren's partitioning regularity, L. Ambrosio and A. Braides's (B)-convexity, the author's LSC1 condition, and several other convexity-type conditions. It is equivalent to BV-ellipticity, and hence to lower semicontinuity, in important special cases, as with immiscible fluids or soap bubble clusters.The question of whether B2-convexity is necessary for lower semicontinuity of surface energy in general has been open since the condition was first formulated. In addition to settling that question, we establish that several other sufficient conditions from the literature are not necessary for lower semicontinuity. Finally, we show that B2-convexity is not necessary for L. Ambrosio and A. Braides's joint convexity, a useful algebraic condition which might be necessary for lower semicontinuity.

RésuméOn démontre que la B2-convexité n'est pas équivalent à la semi-continuité inférieure de l'énergie de surface de partitions de Rm pour tout m⩾2. La B2-convexité, formulée par F. Morgan en 1995, est une extension de la condition de régularité de partition de F. Almgren, de la condition de B-convexité de L. Ambrosio et A. Braides, et de la condition LSC1 de l'auteur. La B2-convexité est équivalente à la BV-ellipticité et donc à la semi-continuité inférieure, dans des situations particulières importantces comme par exemple dans le cas des fluides non miscibles et le cas des bulles de savon.La question de savoir si la B2-convexité est nécessaire pour entraîner la semi-continuité inférieure de l'énergie de surface n'a pas été résolue dans le cas général depuis qu'elle a été formulée. En plus de la résolution de cette question on montre que plusieurs autres conditions suffisantes ne sont pas nécessaires pour la semi-continuité inférieure. On démontre aussi que la B2-convexité n'est pas nécessaire pour la conxexité jointe de L. Ambrosio et A. Braides, une condition algébrique qui pourrait être utile pour la semi-continuité inférieure.