Asymptotic partial decomposition of domain for spectral problems in rod structures

We consider the vibrations of a bundle composed of two co-linear rods. The thickness of the rods is of order ε, where ε is a small parameter. Let ε/2 be the width of one of the rods, and let ε be the width of the other one. Considering the associated spectral problem, we study the asymptotic behavior, as ε→0, of the eigenelements. In particular, we obtain asymptotics for these eigenelements providing correcting terms and precise bounds for convergence rates of the eigenelements. These eigenelements are approached up to the first order by the eigenelements of a one-dimensional Dirichlet problem set in (−1,1). We also provide alternative approaches via the eigenelements of the spectral problem obtained by asymptotic partial decomposition of domain, which is known to be useful in numerical computations. Finally, we show that the technique developed in the paper can be applied to other spectral problems for thin structures.

RésuméOn considère les vibrations d'un trousseau de deux barres colinéaires. La largeur des barres est d'ordre ε, où ε est un petit paramétre. Soit ε/2 la largeur de l'une des deux barres et soit ε la largeur de l'autre. On considére le problème spectral associé à cette structure et on s'interesse au comportement asymptotique des éléments propres lorsque ε→0. En particulier, nous obtenons les approximations asymptotiques de ces éléments propres contenant des termes correcteurs et nous précisons les bornes du taux de convergence. Ces éléments propres sont approchés jusqu'aux termes d'ordre ε par les éléments propres de problème de Dirichlet posé dans l'intervalle (−1,1). De plus, nous développons une approche alternative via un problème spectral obtenu par la décomposition asymptotique de domaine ; cette méthode est un outil de résolution numérique de plusieurs problèmes posés dans des structures minces.