Regularity and nonuniqueness results for parabolic problems arising in some physical models, having natural growth in the gradient

In this paper we study the problem:{ut−Δu=β(u)|∇u|2+f(x,t)inQ≡Ω×(0,+∞),u(x,t)=0on∂Ω×(0,+∞),u(x,0)=u0(x)inΩ, where Ω   is a bounded regular domain in RNRN, β is a positive nondecreasing function and f  , u0u0 are positive functions satisfying some hypotheses of summability. Besides some regularity properties of all weak solutions, the main result is wild nonuniqueness theorem, which connects, via a change of unknown function, all weak solution of this problem with the solutions of some semilinear parabolic problems involving singular measure data with arbitrary support.

RésuméDans cet article, nous étudions le problème :{ut−Δu=β(u)|∇u|2+f(x,t)dansQ≡Ω×(0,+∞),u(x,t)=0sur∂Ω×(0,+∞),u(x,0)=u0(x)dansΩ, où Ω   est un ouvert borné et régulier de RNRN, β est une fonction positive et non décroissante, et finalement f  , u0u0 sont des fonctions positives qui vérifient quelques hypothèses d'intégrabilité. Après avoir donné quelques propriétés de régularité des solutions faibles, nous démontrons le théorème principal, un résultat de très forte nonunicité, qui donne une relation, grâce à un changement de fonction inconnue, entre toutes les solutions faibles de ce problème et les solutions de certains problèmes paraboliques semilinéaires où des données mesures apparaissent, avec un support arbitraire.