Asymptotics for the spectrum of the Wentzell problem with a small parameter and other related stiff problems

We consider different stiff spectral problems with a small parameter for the Laplace operator in two different domains of the plane Ω and Ωε, respectively. Here Ωε=Ω∪ωε∪Γ, where Ω is a fixed open bounded domain with boundary Γ, ωε is a curvilinear strip of variable width O(ε), and . ε and δε are small parameters that converge towards zero. The first problem is a Wentzell spectral problem in the fixed domain Ω, with the parameter δε appearing on the boundary condition, multiplying the normal derivative on Γ. For the second problem, posed in Ωε with a Neumann condition on the boundary of Ωε, the density and stiffness constants are of order O(ε−t) in the strip ωε, with t>1, while they are of order O(1) in the fixed domain Ω. We provide asymptotic expansions for the eigenvalues and eigenfunctions of both problems and obtain bounds for convergence rates of these eigenelements as ε→0. In addition, we seek out the connection between both problems, which have a common limiting eigenvalue problem (cf. (2.15)–(2.16)), and notice an asymptotic dissociation in two spectral problems on Ω and Γ. We also show that the Wentzell spectral problem can be considered as an alternative approach for the stiff problem in the perturbed domain Ωε when δε=εt−1, as ε→0.

RésuméOn considère des problèmes spectraux du type raide, avec un petit paramètre (ε or δε), pour l'opérateur de Laplace posés dans deux domaines différents du plan Ω and Ωε, respectivement. Ici Ωε=Ω∪ωε∪Γ, où Ω est un domaine borné indépendent du paramètre ε, et à frontière régulière Γ, ωε est une couche curviligne autour de Γ, de largeur variable O(ε), et . ε et δε sont des petits paramètres que nous ferons converger vers zéro. Le premier problème est un problème spectral de Wentzell, dans le domaine Ω, où le petit paramètre δε apparaît dans la condition aux limites, en multipliant la derivée normale sur Γ. Le second problème, posé dans Ωε, est un problème de Neumann, où les constantes relatives à la densité et la raideur sont d'ordre O(ε−t) dans la bande ωε, avec t>1, tandis qu'elles sont d'ordre O(1) dans le domaine Ω. On construit des développements asymptotiques des valeurs propres et des fonctions propres pour les deux problèmes et on obtient des estimations pour la vitesse de convergence des éléments propres, lorsque ε→0. Par ailleurs, on établit la connexion entre les deux problèmes spectraux : Ils ont le même problème spectral limite très particulier (voir (2.15)–(2.16)), puis qu'ils présentent une dissociation en deux problèmes spectraux dans Ω et dans Γ. De plus, nous montrons que le problème spectral de Wentzell peut être consideré comme une approximation asymptotique alternative, lorsque ε→0, du problème raide posé dans le domaine perturbé Ωε pour la relation δε=εt−1.