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4644655 Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 2006 21 Pages PDF
Abstract

We study a class of complex vector fields defined on the two-torus of the form L=∂/∂t+(a(x,t)+ib(x,t))∂/∂x, a,b∈C∞(T2;R), b≢0. We view L as an operator acting on smooth functions and present conditions for L to have either a closed range or a finite-codimensional range. Our results involve, besides condition (P) of Nirenberg and Treves, the behavior of a+ib near each one-dimensional Sussmann orbit homotopic to the unit circle. One of the main goals of our work is to provide some clarification about the role played by the coefficient a in the validity of the above properties of the range.

RésuméOn étudie une classe de champs de vecteurs complexes definis sur le tore et de la forme L=∂/∂t+(a(x,t)+ib(x,t))∂/∂x, a,b∈C∞(T2;R), b≢0. On considère L comme un opérateur defini sur les fonctions indéfiniment différentiables et on donne des conditions pour que l'image de L soit fermée et pour qu'elle soit aussi de codimension finie. Nos résultats utilisent la condition (P) de Nirenberg et Trèves ainsi que le comportement de a+ib près de chaque orbite de Sussmann unidimensionnelle homotope au cercle unitaire. Un des buts principaux de notre article est de préciser le rôle joué par le coefficient a dans la validité des proprietés de l'image ci-dessus.

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