On the characterizations of matrix fields as linearized strain tensor fields

Saint Venant's and Donati's theorems constitute two classical characterizations of smooth matrix fields as linearized strain tensor fields. Donati's characterization has been extended to matrix fields with components in L2 by T.W. Ting in 1974 and by J.J. Moreau in 1979, and Saint Venant's characterization has been extended likewise by the second author and P. Ciarlet, Jr. in 2005. The first objective of this paper is to further extend both characterizations, notably to matrix fields whose components are only in H−1, by means of different, and to a large extent simpler and more natural, proofs. The second objective is to show that some of our extensions of Donati's theorem allow to reformulate in a novel fashion the pure traction and pure displacement problems of linearized three-dimensional elasticity as quadratic minimization problems with the strains as the primary unknowns. The third objective is to demonstrate that, when properly interpreted, such characterizations are “matrix analogs” of well-known characterizations of vector fields. In particular, it is shown that Saint Venant's theorem is in fact nothing but the matrix analog of Poincaré's lemma.

RésuméLes théorèmes de Saint Venant et de Donati constituent deux caractérisations classiques de champs de matrices réguliers comme des champs de tenseurs de déformation linéarisés. La caractérisation de Donati a été étendue aux champs de matrices dont les composantes sont dans L2 par T.W. Ting en 1974 et par J.J. Moreau en 1979. La caractérisation de Saint Venant a été pareillement étendue par le second auteur et P. Ciarlet, Jr. en 2005. Le premier objectif de cet article est de montrer que l'on peut généraliser encore davantage ces caractérisations, en particulier à des champs de matrices dont les composantes sont seulement dans H−1, au moyen de démonstrations différentes, et dans une large mesure plus simples et plus naturelles. Le second objectif est de montrer que certaines de nos généralisations du théorème de Donati conduisent à de nouvelles façons de poser les problèmes de traction pure et de déplacement pur de l'élasticité linéarisée tridimensionnelle, sous la forme de problèmes de minimisation quadratique où les déformations deviennent les inconnues principales. Le troisième objectif est de montrer que, une fois convenablement interprétées, ces caractérisations apparaissent comme les « analogues matriciels » de caractérisations bien connues de champs de vecteurs. En particulier, on montre que le théorème de Saint Venant n'est autre que l'analogue matriciel du lemme de Poincaré.