Precise estimates for the subelliptic heat kernel on H-type groups

We establish precise upper and lower bounds for the subelliptic heat kernel on nilpotent Lie groups G   of H-type. Specifically, we show that there exist positive constants C1C1, C2C2 and a polynomial correction function QtQt on G such thatC1Qte−d24t⩽pt⩽C2Qte−d24t, where ptpt is the heat kernel, and d the Carnot–Carathéodory distance on G  . We also obtain similar bounds on the norm of its subelliptic gradient |∇pt||∇pt|. Along the way, we record explicit formulas for the distance function d and the subriemannian geodesics of H-type groups.

RésuméOn donne des estimations précises des bornes supérieures et inférieures du noyau de la chaleur sous-elliptique sur les groupes de Lie nilpotents G   de type H. Plus précisément, on montre qu'il existe des constantes positives C1C1 et C2C2, et une fonction polynomiale corrective QtQt sur G telles queC1Qte−d24t⩽pt⩽C2Qte−d24t, où ptpt est le noyau de la chaleur, et d est la distance de Carnot–Carathéodory sur G  . On obtient aussi des estimations similaires pour la norme du gradient |∇pt||∇pt|. En passant, on donne aussi des formules explicites pour la distance d et les géodésiques sous-riemannienes sur les groupes de type H.