On the construction of approximate solutions for the 2D viscous shallow water model and for compressible Navier–Stokes models

The purpose of this paper is to build sequences of suitably smooth approximate solutions to the Saint-Venant model that preserve the mathematical structure discovered in [D. Bresch, B. Desjardins, Comm. Math. Phys. 238 (1–2) (2003) 211–223]. The stability arguments in this paper then apply to such sequences of approximate solutions, which leads to the global existence of weak solutions for this model. Extension of this mollifying procedure to the case of compressible Navier–Stokes equations is also provided. Using the recent paper written by the authors, this provides global existence results of weak solutions for the barotropic Navier–Stokes equations and for compressible Navier–Stokes equations with heat conduction using a particular cold pressure term close to vacuum.

RésuméLe but de cette note est de construire une suite de solutions approchées du modèle visqueux de Saint-Venant qui préserve la structure mathématique découverte dans [D. Bresch, B. Desjardins, Comm. Math. Phys. 238 (1–2) (2003) 211–223]. Les arguments de stabilité donnés dans cet article peuvent alors s'appliquer à de telles solutions approchées, ce qui donne l'existence globale de solutions faibles pour ce modèle. Une extension de cette procédure de régularisation au cas de Navier–Stokes compressible est également présentée. En utilisant l'article récent écrit par les auteurs, cela donne un résultat d'existence globale de solutions faibles pour Navier–Stokes barotrope et pour Navier–Stokes compressibles avec conductivité de chaleur en utilisant un terme de pression froide adéquat proche du vide.