Zero-measure Cantor spectrum for Schrödinger operators with low-complexity potentials

We consider discrete one-dimensional Schrödinger operators whose potentials belong to minimal subshifts of low combinatorial complexity and prove for a large class of such operators that the spectrum is a Cantor set of zero Lebesgue measure. This is obtained through an analysis of the frequencies of the subwords occurring in the potential. Our results cover most circle map and Arnoux–Rauzy potentials.

RésuméNous considérons des opérateurs unidimensionnels discrets de Schrödinger dont les potentiels appartiennent aux « subshifts » minimaux de basse complexité combinatoire. Nous démontrons pour une grande classe de tels opérateurs que le spectre est un ensemble de Cantor de mesure nulle de Lebesgue. Ceci est obtenu par une analyse des fréquences des facteurs intervenant dans le potentiel. Nos résultats couvrent la plupart des potentiels résultant des codages des rotations et des « subshifts » d'Arnoux–Rauzy.