Graded Lie algebra of Hermitian tangent valued forms

We define the Hermitian tangent valued forms of a complex 1-dimensional line bundle equipped with a Hermitian metric. We provide a local characterization of these forms in terms of a local basis and of a local fibred chart. We show that these forms constitute a graded Lie algebra through the Frölicher–Nijenhuis bracket.Moreover, we provide a global characterization of this graded Lie algebra, via a given Hermitian connection, in terms of the tangent valued forms and forms of the base space. The bracket involves the curvature of the given Hermitian connection.

RésuméOn definit les formes hermitiennes à valeurs tangentes d'un fibré de droite complexe muni d'une métrique hermitienne. On donne une caractérisation locale de ces formes dans une base locale et une carte locale fibrée. On montre que ces formes constituent une algèbre de Lie graduée par rapport au crochet de Frölicher–Nijenhuis. En outre, on donne une caractérisation globale de cette algèbre de Lie graduée, au moyen d'une connexion hermitienne donnée, en termes de formes à valeurs tangentes et de formes de l'espace de base. Le crochet implique la courbure de la connexion hermitienne donnée.