Potential theory and optimal convergence rates in fast nonlinear diffusion

A potential theoretic comparison technique is developed, which yields the conjectured optimal rate of convergence as t→∞t→∞ for solutions of the fast diffusion equationut=Δ(um),(n−2)+/n

RésuméDans les milieux dissipatifs, les perturbations initiales disparaissent progressivement, et seuls sont preservés leurs traits les plus grossiers, comme leur taille et leur position. Estimer précisément la vitesse de cette « disparition » est parfois une question d'un interêt primordial. Ici, nous donnons cette vitesse pour les diffusions non linéaires les plus rapides qui préservent la masse, pour le modèle qui gouverne la diffusion d'une densité initiale, intégrable et à support compact, vers un profil autosimilaire. Pour cela, nous établissons une théorie de comparaison des potentiels, ce qui permet de montrer que la vitesse précise de décroissance est en 1/t1/t pour la norme L1(Rn)L1(Rn), et en fait uniforme pour l'erreur relative.