Spectral stiff problems in domains surrounded by thin bands: Asymptotic and uniform estimates for eigenvalues

We consider an asymptotic spectral problem for a second order differential operator, with piecewise constants coefficients, in a two-dimensional domain Ωɛ. Here Ωɛ is Ωɛ=Ω∪ωɛ∪Γ, where Ω is a fixed open bounded domain with boundary Γ, ωɛ is a curvilinear strip of variable width O(ɛ), and . The density and stiffness constants are of order O(ɛ−m−t) and O(ɛ−t) respectively in this strip, while they are of order O(1) in the fixed domain Ω; t and t+m are positive parameters and ɛ∈(0,1). Imposing the Neumann condition on the boundary of Ωɛ, for t⩾0 and m⩾−t we provide asymptotics for the eigenvalues and eigenfunctions as ɛ→0. We obtain sharp estimates of convergence rates for the eigenpairs in the case where t=1 and m=0, which can, in fact, be extended to other cases.

RésuméOn considère un problème spectral asymptotique pour un opérateur différentiel du deuxième ordre, a coefficients constants par morceaux, dans un domaine Ωɛ⊂R2 ; Ωɛ étant Ωɛ=Ω∪ωɛ∪Γ, où Ω est un domaine borné à frontière régulière Γ, ωɛ est une couche curviligne de largeur variable O(ɛ) et . Les constantes relatives à la densité et la raideur sont respectivement d'ordre O(ɛ−m−t) et O(ɛ−t) dans cette couche, et d'ordre O(1) dans le domaine fixé Ω ; t et t+m sont des paramètres positifs et ɛ∈(0,1). On impose une condition de Neumann sur la frontière du domaine Ωɛ et on étudie le comportement asymptotique des valeurs propres et des fonctions propres, lorsque ɛ→0, pour t⩾0 et m⩾−t. On obtient des bornes précises pour la vitesse de convergence des valeurs propres et des fonctions propres dans le cas t=1 et m=0.