The weak repulsion property

In 1926 M. Lavrentiev [M. Lavrentiev, Sur quelques problèmes du calcul des variations, An. Mat. Pura Appl. 4 (1926) 7–28] proposed an example of a variational problem whose infimum over the Sobolev space W1,p, for some values of p⩾1, is strictly lower than the infimum over W1,∞. This energy gap is known since then as the Lavrentiev phenomenon.The aim of this paper is to provide a deeper insight into this phenomenon by shedding light on an unnoticed feature. Any energy that presents the Lavrentiev gap phenomenon is unbounded in any neighbourhood of any minimizer in W1,p.We also show a finer result in case of regular minimizers and the repulsion property (observed by J. Ball and V. Mizel [J.M. Ball, V.J. Mizel, One-dimensional variational problems whose minimizers do not satisfy the Euler–Lagrange equation, Arch. Rational Mech. Anal. 90 (4) (1985) 325–388]) for any power α>1 of a Lagrangian that exhibits the Lavrentiev gap phenomenon.

RésuméEn 1926 M. Lavrentiev [M. Lavrentiev, Sur quelques problèmes du calcul des variations, An. Mat. Pura Appl. 4 (1926) 7–28] découvrit un exemple de problème variationnel dans lequel l'infimum sur l'espace de Sobolev W1,p, pour des p⩾1, est strictement inférieur à l'infimum sur l'espace W1,∞. Ce saut d'énergie est connu sous le nom de phénomène de Lavrentiev.Dans cet article on présente une nouvelle caractéristique liée à ce phénomène qui permet de mieux le comprendre. Toutes les énergies qui présentent un saut de Lavrentiev sont non bornées dans tous les voisinages de chaque minimum en W1,p.Finalement nous donnons un résultat plus précis dans le cas où les minima sont réguliers, et nous démontrons la propriété de répulsion (observée par J. Ball et V. Mizel [J.M. Ball, V.J. Mizel, One-dimensional variational problems whose minimizers do not satisfy the Euler–Lagrange equation, Arch. Rational Mech. Anal. 90 (4) (1985) 325–388]) pour toutes les puissances α>1 d'une lagrangienne présentant le phénomène de Lavrentiev.