Hamilton–Jacobi semigroup on length spaces and applications

We define a Hamilton–Jacobi semigroup acting on continuous functions on a compact length space. Following a strategy of Bobkov, Gentil and Ledoux, we use some basic properties of the semigroup to study geometric inequalities related to concentration of measure. Our main results are that (1) a Talagrand inequality on a measured length space implies a global Poincaré inequality and (2) if the space satisfies a doubling condition, a local Poincaré inequality and a log-Sobolev inequality then it also satisfies a Talagrand inequality.

RésuméNous définissons un semi-groupe de Hamilton–Jacobi agissant sur les fonctions continues définies sur un espace de longueurs compact. Nous utilisons les propriétés de ce semi-groupe pour étudier certaines inégalités géométriques liées au phénomène de concentration de la mesure, selon une stratégie initiée par Bobkov, Gentil et Ledoux. Nos principaux résultats stipulent que (1) une inégalité de Talagrand sur un espace de longueurs mesuré implique une inégalité de Poincaré globale, et (2) si l'espace vérifie en outre une condition de doublement, une inégalité de Poincaré locale et une inégalité de Sobolev logarithmique, alors il admet aussi une inégalité de Talagrand.