Asymptotic behavior of stable radial solutions of semilinear elliptic equations in RN

This paper is devoted to the study of stable nonconstant radial solutions of −Δu=f(u) in RN, where f∈C1(R). We prove that any stable nonconstant bounded radial solution satisfies N>10 and for every r⩾1, for certain M>0, where u∞=limr→∞u(r). Moreover, we establish that every stable nonconstant (not necessarily bounded) radial solution satisfies if N≠10, and |u(r)|⩾Mlog(r) if N=10; for r⩾r0, for some M,r0>0. The result is optimal for every N⩾1, but there is a subtle difference between the cases N⩾2 and N=1. In the first case there are stable radial solutions satisfying if N≠10, and limr→∞u(r)/log(r)=1 if N=10. In the case N=1 we give a characterization of the stable nonconstant even solutions, which implies limr→∞|u(r)|/r3/2=+∞ for such functions. This exponent is optimal since, for every s>3/2, it is possible to find stable even solutions satisfying u(r)=rs for every r⩾1. In fact, the techniques we use in both cases are completely different.

RésuméDans cet article on étudie des solutions radiales stables non constantes de l'équation −Δu=f(u) in RN, où f∈C1(R). On démontre que toute solution radiale bornée satisfait pour N>10, , ∀r⩾1, pour certain M>0, où u∞=limr→∞u(r). De plus, nous établissons pour chaque solution radiale stable non constante (pas nécessairement bornée) l'estimation , si N≠10, et |u(r)|⩾Mlog(r), si N=10 ; ∀r⩾r0, pour certains M,r0>0. Le résultat est optimal pour tout N⩾1, mais il y a une différence subtile entre les cas N⩾2 et N=1. Dans le premier cas, il existe des solutions radiales stables vérifiant =1, si N≠10, et limr→∞u(r)/log(r)=1, si N=10. Si N=1 nous caractérisons les solutions radiales stables paires non constantes, ce qui implique limr→∞|u(r)|/r3/2=+∞ pour ces fonctions. Cet exposant est optimal car, pour tout s>3/2, il est possible de trouver des solutions stables paires telles que u(r)=rs ∀r⩾1. Les techniques utilisées dans chaque cas sont complètement différentes.