On the Hessian matrix and Minkowski addition of quasiconvex functions

We study the class Q of quasiconvex functions (i.e. functions with convex sublevel sets), by associating to every u∈Q∩C(Rn) a function , such that H(X,t) is nondecreasing in t and sublinear in X: for every fixed t, the function H(⋅,t) is nothing else than the support function of the sublevel set . When u is suitably regular, we establish an exact relation between D2u and D2H; this allows us to find explicit formulae to write the k-Hessian operators Sk(D2u) (among which Δu and detD2u) in terms of H. Then we investigate on Minkowski addition of quasiconvex functions.

RésuméNous étudions la classe Q des fonctions quasiconvexes (i.e. les fonctions dont les ensembles de niveau sont convexes). Nous associons à chaque u∈Q∩C(Rn) une fonction H(X,t), qui est croissante en t∈R et souslinéaire en X∈Rn : pour tout t fixé, la fonction H(⋅,t) est la fonction d'appui de l'ensemble de niveau . Lorsque u est suffisamment régulière, nous établissons une relation exacte entre D2u et D2H ; ceci nous permet de trouver des formules explicites pour les opérateurs k-hessienne Sk(D2u) (parmi lesquels Δu et detD2u) en fonction de H. Enfin, nous étudions l'addition de Minkowski des fonctions quasiconvexes.