Another approach to the fundamental theorem of Riemannian geometry in R3R3, by way of rotation fields

In 1992, C. Vallée showed that the metric tensor field C=∇ΘT∇ΘC=∇ΘT∇Θ associated with a smooth enough immersion Θ:Ω→R3 defined over an open set Ω⊂R3Ω⊂R3 necessarily satisfies the compatibility relationCURLΛ+COFΛ=0in Ω, where the matrix field Λ is defined in terms of the field U=C1/2U=C1/2 byΛ=1detU{U(CURLU)TU−12(tr[U(CURLU)T])U}.The main objective of this paper is to establish the following converse: If a smooth enough field C of symmetric and positive-definite matrices of order three satisfies the above compatibility relation over a simply-connected open set Ω⊂R3Ω⊂R3, then there exists, typically in spaces such as Wloc2,∞(Ω;R3) or C2(Ω;R3)C2(Ω;R3), an immersion Θ:Ω→R3 such that C=∇ΘT∇ΘC=∇ΘT∇Θ in Ω.This global existence theorem thus provides an alternative to the fundamental theorem of Riemannian geometry for an open set in R3R3, where the compatibility relation classically expresses that the Riemann curvature tensor associated with the field C vanishes in Ω.The proof consists in first determining an orthogonal matrix field R defined over Ω, then in determining an immersion Θ such that ∇Θ=RC1/2∇Θ=RC1/2 in Ω  , by successively solving two Pfaff systems. In addition to its novelty, this approach thus also possesses a more “geometrical” flavor than the classical one, as it directly seeks the polar factorization ∇Θ=RU∇Θ=RU of the immersion gradient in terms of a rotation R and a pure stretch U=C1/2U=C1/2.This approach also constitutes a first step towards the analysis of models in nonlinear three-dimensional elasticity where the rotation field is considered as one of the primary unknowns.

RésuméEn 1992, C. Vallée a montré que le champ C=∇ΘT∇ΘC=∇ΘT∇Θ de tenseurs métriques associé à une immersion suffisamment régulière Θ:Ω→R3 définie sur un ouvert Ω⊂R3Ω⊂R3 vérifie nécessairement la relation de compatibilitéCURLΛ+COFΛ=0in Ω, où le champ Λ de matrices est défini en fonction du champ U=C1/2U=C1/2 parΛ=1detU{U(CURLU)TU−12(tr[U(CURLU)T])U}.L'objet principal de cet article est d'établir la réciproque suivante : Si un champ suffisamment régulier C de matrices symétriques définies positives d'ordre trois satisfait la relation de compatibilité ci-dessus dans un ouvert Ω⊂R3Ω⊂R3 simplement connexe, alors il existe, typiquement dans des espaces tels que Wloc2,∞(Ω;R3) ou C2(Ω;R3)C2(Ω;R3), une immersion Θ:Ω→R3 telle que C=∇ΘT∇ΘC=∇ΘT∇Θ in Ω.Ce théorème d'existence global fournit donc une alternative au théorème fondamental de la géométrie riemannienne pour un ouvert Ω⊂R3Ω⊂R3, dans lequel la relation de compatibilité exprime classiquement que le tenseur de courbure de Riemann associé au champ C s'annule dans Ω.La démonstration consiste d'abord à déterminer un champ R de matrices orthogonales dans Ω, puis à déterminer une immersion Θ telle que ∇Θ=RC1/2∇Θ=RC1/2 dans Ω  , en résolvant successivement deux systèmes de Pfaff. En plus de sa nouveauté, cette approche est donc de nature plus « géométrique » que l'approche classique, dans la mesure où elle cherche à identifier directement la factorisation polaire ∇Θ=RU∇Θ=RU du gradient de l'immersion en une rotation R et une extension pure U=C1/2U=C1/2.Cette approche constitue également un premier pas vers l'analyse de modèles en élasticité tridimensionnelle non linéaire où le champ des rotations est considéré comme une inconnue à part entière.