Global Cauchy problem for semilinear hyperbolic systems with nonlocal interactions. Applications to Dirac equations

We investigate the global Cauchy problem for a class of semilinear hyperbolic systems where the interaction can be nonlocal in space and time. We establish global existence theorems for the initial value problem when the nonlinearity is dissipative in a weak sense, and satisfies the causality condition. The argument is abstract and the technique is based on the nonlinear resolvent. We apply these results to get low regularity global solutions of several models for relativistic field theory: the Dirac–Maxwell–Klein–Gordon system, and the Thirring model on the Minkowski space–time R1+1; the Dirac–Klein–Gordon system on Schwarzschild type manifolds, or outside a star undergoing a gravitational collapse to a Black-Hole.

RésuméOn résout le problème de Cauchy global pour une classe de systèmes hyperboliques dont l'interaction peut être non locale en espace–temps. Nous établissons des théorèmes d'existence globale quand la non-linéarité satisfait une propriété faible de dissipativité, et la condition de causalité. L'argument est abstrait et repose sur une technique de résolvant non linéaire. Nous appliquons ces résultats pour obtenir des solutions globales peu régulières de divers modèles de la théorie relativiste des champs : le système de Dirac–Maxwell–Klein–Gordon et le modèle de Thirring sur l'espace temps de Minkowski R1+1 ; le système de Dirac–Klein–Gordon dans des variétés de type Schwarzschild, ou à l'extérieur d'une étoile en effondrement gravitationnel vers un trou noir.