Nonlinear elliptic equations having a gradient term with natural growth

In this paper, we study a class of nonlinear elliptic Dirichlet problems whose simplest model example is:equation(1){−Δpu=g(u)|∇u|p+f,inΩ,u=0,on∂Ω. Here Ω   is a bounded open set in RNRN (N⩾2N⩾2), ΔpΔp denotes the so-called p  -Laplace operator (p>1p>1) and g   is a continuous real function. Given f∈Lm(Ω)f∈Lm(Ω) (m>1m>1), we study under which growth conditions on g problem (1) admits a solution. If m⩾N/pm⩾N/p, we prove that there exists a solution under assumption (3) (see below), and that it is bounded when m>Np; while if 1

RésuméDans cet article, nous traitons le problème de Dirichlet pour une classe d'équations elliptiques non linéaires, dont l'exemple modèle est (1) ci-dessus, où Ω   est un ensemble ouvert borné dans RNRN (N⩾2N⩾2), ΔpΔp dénote l'opérateur p  -laplacien (p>1p>1) et g est une fonction continue à valeurs réelles.Étant donnée f∈Lm(Ω)f∈Lm(Ω) (m>1m>1), nous étudions les conditions de croissance sur g   qui assurent l'existence de solutions. Si m⩾N/pm⩾N/p, nous démontrons qu'il existe une solution sous l'hypothèse (3) (voir ci-dessous), solution bornée quand m>Np ; tandis que si 1