La fonction génératrice de Minc et une « conjecture de Segal » pour certains spectres de Thom

RésuméOn construit dans cet article une résolution injective minimale dans la catégorie U des modules instables sur l'algèbre de Steenrod modulo 2, de la cohomologie de certains spectres obtenus à partir de l'espace de Thom du fibré, associé à la représentation régulière réduite du groupe abélien élémentaire n(Z/2), au dessus de l'espace Bn(Z/2). Les termes de la résolution sont des produits tensoriels de modules de Brown–Gitler J(k) et de modules de Steinberg Ln introduits par S. Mitchell et S. Priddy. Ces modules sont injectifs d'après J. Lannes et S. Zarati, de plus ils sont indécomposables. L'existence de cette résolution avait été conjecturée par Jean Lannes et le deuxième auteur. La principale indication soutenant cette conjecture était un résultat combinatoire de G. Andrews : la somme alternée des séries de Poincaré des modules considérées est nulle.Ce résultat a des conséquences homotopiques et permet de démontrer pour ces spectres un résultat du type de la conjecture de Segal pour les classifiants des 2-groupes abéliens élémentaires (Adams et al. (1985) [1]).