La somme des faux degrés—un mystère en théorie des invariants

RésuméNous poursuivons l'étude de la polynomialité du semi-centre Sz(p) de l'algèbre enveloppante d'une sous-algèbre parabolique p d'une algèbre de Lie semi-simple g, motivés par la réponse affirmative lorsque g est de type A ou C [F. Fauquant-Millet, A. Joseph, Semi-centre de l'algèbre enveloppante d'une sous-algèbre parabolique d'une algèbre de Lie semi-simple, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38 (2) (2005) 155–191] et lorsque p=b, une sous-algèbre de Borel [A. Joseph, A preparation theorem for the prime spectrum of a semisimple Lie algebra, J. Algebra 48 (1977) 241–289], et p=g (Chevalley).Nous construisons une application linéaire entre Sz(b) et Sz(g) et montrons que c'est un isomorphisme uniquement en type A et C. Nous relions ceci à la difficulté de prouver la polynomialité de Sz(p) en dehors des types A et C. Cela nous conduit aux « faux degrés » définis à partir de la structure combinatoire sous-jacente. Ceux-ci sont les vrais degrés lorsque les bornes de [F. Fauquant-Millet, A. Joseph, Semi-centre de l'algèbre enveloppante d'une sous-algèbre parabolique d'une algèbre de Lie semi-simple, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38 (2) (2005) 155–191] coïncident et la polynomialité en découle. Nous montrons que la somme de ces faux degrés est toujours égale à, ce qui peut être faux pour les vrais degrés lorsqu'ils sont définis. Enfin nous prouvons la conjecture de Tauvel–Yu sur l'indice d'un parabolique.

We continue the study of the polynomiality of the semicentre Sz(p) of the enveloping algebra of a parabolic subalgebra p of a semisimple Lie algebra g, motivated by its truth when g is of type A or C [F. Fauquant-Millet, A. Joseph, Semi-centre de l'algèbre enveloppante d'une sous-algèbre parabolique d'une algèbre de Lie semi-simple, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38 (2) (2005) 155–191] and when p=b, a Borel subalgebra [A. Joseph, A preparation theorem for the prime spectrum of a semisimple Lie algebra, J. Algebra 48 (1977) 241–289] and p=g (Chevalley).We construct a linear map of Sz(b) into Sz(g) and show it to be an isomorphism just in types A and C. We link this to the difficulty of proving the polynomiality of Sz(p) outside types A and C. It leads to “false degrees” defined by underlying combinatorial structure. These are the true degrees when the bounds in [F. Fauquant-Millet, A. Joseph, Semi-centre de l'algèbre enveloppante d'une sous-algèbre parabolique d'une algèbre de Lie semi-simple, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38 (2) (2005) 155–191] coincide and polynomiality ensues. We show that these false degrees always sum to which can fail for the true degrees when they are defined. Finally we prove the Tauvel–Yu conjecture on the index of a parabolic.